傅里叶变换

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傅里叶变换
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傅里叶级数
傅里叶变换
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离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
快速傅里叶变换
分数傅里叶变换
短时距傅立叶变换
小波变换
离散小波变换
连续小波变换

傅里叶变换(法语:Transformation de Fourier、英语:Fourier transform)是一种线性积分变换,用于信号在时域(或空域)和频域之间的变换,在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析,确定物质的基本成分;信号来自自然界,也可对其进行分析,确定其基本成分。

经傅里叶变换生成的函数 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 称作原函数 f {\displaystyle f} 的傅里叶变换、亦称频谱。在许多情况下,傅里叶变换是可逆的,即可通过 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 得到其原函数 f {\displaystyle f} 。通常情况下, f {\displaystyle f} 是实数函数,而 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 则是复数函数,用一个复数来表示振幅和相位。

“傅里叶变换”一词既指变换操作本身(将函数 f {\displaystyle f} 进行傅里叶变换),又指该操作所生成的复数函数( f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} f {\displaystyle f} 的傅里叶变换)。

定义

主条目:连续傅里叶变换

一般情况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”(连续函数的傅里叶变换)。定义傅里叶变换有许多不同的方式。本文中采用如下的定义:(连续)傅里叶变换将可积函数 f : R C {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } 表示成复指数函数的积分或级数形。

f ^ ( ξ ) = f ( x )   e 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx} ξ为任意实数。

自变量x表示时间(以秒为单位),变换变量ξ表示频率(以赫兹为单位)。在适当条件下, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 可由逆变换(inverse Fourier transform)由下式确定 f {\displaystyle f}

f ( x ) = f ^ ( ξ )   e 2 π i ξ x d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi } x为任意实数。

傅里叶逆定理提出 f {\displaystyle f} 可由 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 确定,傅里叶在其1822年出版的著作《热分析理论》(法语:Théorie analytique de la chaleur)中首次引入这个定理。虽然现在标准下的证明直到很久以后才出现。 f {\displaystyle f} f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 常常被称为傅里叶积分对傅里叶变换对

简介

参见:傅里叶变换家族中的关系 傅里叶变换将函数的时域(红色)与频域(蓝色)相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中,复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。

中文译名

英语:Fourier transform或法语:Transformation de Fourier中文较常用的翻译名称有傅里叶变换傅里叶转换等。为方便起见,本文统一写作傅里叶变换

应用

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中,傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} 的傅里叶变换 F [ f ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[f]} F [ g ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[g]} 都存在, α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } 为任意常系数,则 F [ α f + β g ] = α F [ f ] + β F [ g ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[\alpha f+\beta g]=\alpha {\mathcal {F}}[f]+\beta {\mathcal {F}}[g]} ;傅里叶变换算符 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 可经归一化成为幺正算符。

平移性质

若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} 存在傅里叶变换,则对任意实数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} ,函数 f ( x ) e i ω 0 x {\displaystyle f(x)e^{i\omega _{0}x}} 也存在傅里叶变换,且有 F [ f ( x ) e i ω 0 x ] = F ( ω ω 0 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}[f(x)e^{i\omega _{0}x}]=F(\omega -\omega _{0})} 。式中花体 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是傅里叶变换的作用算子,平体 F {\displaystyle F} 表示变换的结果(复函数), e {\displaystyle e} 为自然对数的底, i {\displaystyle i} 为虚数单位 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}}

微分关系

若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} | x | {\displaystyle |x|\rightarrow \infty } 时的极限为0,而其导函数 f ( x ) {\displaystyle f'(x)} 的傅里叶变换存在,则有 F [ f ( x ) ] = i ω F [ f ( x ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[f'(x)]=i\omega {\mathcal {F}}[f(x)]} ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 i ω {\displaystyle i\omega } 。更一般地,若 f ( ± ) = f ( ± ) = = f ( k 1 ) ( ± ) = 0 {\displaystyle f(\pm \infty )=f'(\pm \infty )=\ldots =f^{(k-1)}(\pm \infty )=0} ,且 F [ f ( k ) ( x ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]} 存在,则 F [ f ( k ) ( x ) ] = ( i ω ) k F [ f ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]=(i\omega )^{k}{\mathcal {F}}[f]} ,即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 ( i ω ) k {\displaystyle (i\omega )^{k}}

卷积特性

若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} 都在 ( , + ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} 上绝对可积,则卷积函数 f g = + f ( x ξ ) g ( ξ ) d ξ {\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-\xi )g(\xi )d\xi } (或者 f g = + f ( ξ ) g ( x ξ ) d ξ {\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\xi )g(x-\xi )d\xi } )的傅里叶变换存在,且 F [ f g ] = F [ f ] F [ g ] {\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]} 。卷积性质的逆形式为 F 1 [ F ( ω ) G ( ω ) ] = 2 π F 1 [ F ( ω ) ] F 1 [ G ( ω ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )*G(\omega )]=2\pi {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]\cdot {\mathcal {F}}^{-1}[G(\omega )]} ,即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以 2 π {\displaystyle 2\pi }

帕塞瓦尔定理

若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} 可积且平方可积,则 + f 2 ( x ) d x = 1 2 π + | F ( ω ) | 2 d ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f^{2}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }|F(\omega )|^{2}d\omega } 。其中 F ( ω ) {\displaystyle F\left(\omega \right)} f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} 的傅里叶变换。

更一般化而言,若函数 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} 皆为平方可积函数,则 + f ( x ) g ( x ) d x = 1 2 π + F ( ω ) G ( ω ) d ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{*}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )G^{*}(\omega )d\omega } 。其中 F ( ω ) {\displaystyle F\left(\omega \right)} G ( ω ) {\displaystyle G\left(\omega \right)} 分别是 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} 的傅里叶变换, {\displaystyle *} 代表复共轭。

傅里叶变换的不同变种

傅里叶变换也可以写成角频率形式: ω = 2πξ其单位是弧度每秒。

应用ξ=ω/(2π)到上述公式会成为下面的形式:

f ^ ( ω ) = R n f ( x ) e i ω x d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx.}

根据这一形式,(傅里叶)逆变换变为:

f ( x ) = 1 ( 2 π ) n R n f ^ ( ω ) e i ω x d ω . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .}

若不按照本文中使用的,而像这样定义傅里叶变换,那它将不再是L(Rn)上的一个幺正变换 。另外这样的定义也使傅里叶变换与其逆变换显得不太对称。

另一个形式是把(2π)n均匀地分开给傅里叶变换和逆变换,即定义为:

f ^ ( ω ) = 1 ( 2 π ) n / 2 R n f ( x ) e i ω x d x {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx}
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n / 2 R n f ^ ( ω ) e i ω x d ω . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .}

根据这一形式,傅里叶变换是再次成为L(Rn)上的一个幺正变换。它也恢复了傅里叶变换和逆变换之间的对称。

所有三种形式的变化可以通过对正向和反向变换的复指数核取共轭来实现。核函数的符号必须是相反的。除此之外,选择是习惯问题。

常用的傅里叶变换形式总结
普通频率ξ( 赫兹)幺正变换 f ^ 1 ( ξ )   = d e f   R n f ( x ) e 2 π i x ξ d x = f ^ 2 ( 2 π ξ ) = ( 2 π ) n / 2 f ^ 3 ( 2 π ξ ) {\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}_{1}(\xi )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,dx={\hat {f}}_{2}(2\pi \xi )=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}_{3}(2\pi \xi )}
原文链接: http://www.240fz.com/c24/ba06e.html